某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环

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  • 解题思路:设2001年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,,每年新增汽车x万辆,依题意可知b1=30,根据题意可表示出关于bn的递推式,利用等比数列的求和公式求得bn+1,判断出数列的单调性,然后利用数列的极限求得问题的答案.

    设2001年末汽车保有量为b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,,每年新增汽车x万辆,则b1=30,

    对于n>1,有

    bn+1=bn×0.94+x

    =bn-1×0.942+(1+0.94)x

    所以bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+0.942+…+0.94n

    =b1×0.94n+

    1−0.94n

    0.06x=[x/0.06+(30−

    x

    0.06)×0.94n

    当30−

    x

    0.06≥0,即x≤1.8时bn+1≤bn≤≤b1=30.

    当30−

    x

    0.06<0,即x>1.8时

    数列{bn}逐项增加,

    可以任意靠近

    x

    0.06]

    lim

    n→+∞bn=

    lim

    n→+∞[

    x

    0.06+(30−

    x

    0.06)×0.94n−1]=

    x

    0.06

    因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即bn≤60(n=1,2,3,)

    x

    0.06≤60,即x≤3.6万辆

    综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.

    点评:

    本题考点: 基本不等式在最值问题中的应用.

    考点点评: 本题主要考查了数列的应用,以及数列与不等式的综合.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.