Question

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，

Answer 1

解题思路：（1）连接A₁C₁、AC和BD交于O，连接C₁O．证明BD垂直平面平面AC₁内的两条相交直线AC，C₁O，即可证明C₁C⊥BD；

（2）当

CD

C

C

1

＝1

时，能使A₁C⊥平面C₁BD，A₁C与C₁O相交于G，说明点G是正三角形C₁BD的中心，证明CG⊥平面C₁BD，即可证明A₁C⊥平面C₁BD．

（1）证明：如图，连接A₁C₁、AC和BD交于O，连接C₁O．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC=CD．

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，

∴△C₁BC≌△C₁DC，

∴C₁B=C₁D，

∵DO=OB

∴C₁O⊥BD，（3分）

但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，

∴BD⊥平面AC₁，

又C₁C⊂平面AC₁，

∴C₁C⊥BD．（6分）

（2）当

CD

CC1＝1时，能使A₁C⊥平面C₁BD．

∵

CD

CC1＝1，

∴BC=CD=C₁C，

又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，

由此可推得BD=C₁B=C₁D．

∴三棱锥C-C₁BD是正三棱锥．（9分）

设A₁C与C₁O相交于G．

∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，

∴C₁G：GO=2：1．

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴点G是正三角形C₁BD的中心，

∴CG⊥平面C₁BD，

即A₁C⊥平面C₁BD．（12分）

点评：

本题考点： 棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，考查空间想象能力，是中档题．