解题思路：（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin2x+cos2x替换，再分子分母同时除以cos2x，即可求出结果；
（II）先由题意求出F（x）=cos2x+sin2x+1，再由两角和的正弦公式化简，由正弦函数的单调区间和整体思想求出F（x）的单调区间．
（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0∴tanx=[1/3]，
则
cos2x−sinxcosx
1+sin2x=
cos2x−sinxcosx
cos2x+2sin2x
=[1−tanx
1+2tan2x=
1−
1/3
1+2×(
1
3)2]=[6/11]，
（Ⅱ）由题意知，F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1=
2sin(2x+
π
4)+1，
由−
π
2+2kπ≤2x+
π
4≤
π
2+2kπ（k∈z）得
−
3π
8+kπ≤x≤
π
8+kπ（k∈z），
由
π
2+2kπ≤2x+
π
4≤
3π
2+2kπ（k∈z）得，
π
8+kπ≤x≤
5π
8+kπ（k∈z），
∴函数F（x）的单调递增区间为 [−
3π
8+kπ，
π
8+kπ]（k∈z），
单调递减区间为[
π
8+kπ，
5π
8+kπ] （k∈z）．
点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
考点点评： 本题考查了三角函数的化简求值以及复合函数的单调性，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解题的关键，同时注意“1”和sin2x+cos2x的灵活转化，属于中档题．