Question

设定义在R上的函数f（x）对于任意x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）

Answer 1

解题思路：（1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；

（2）设x₁＜x₂，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），由x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），证明函数在R上单调递减；

（3）再利用赋值法和条件，分别求出函数最大值和最小值．

（1）令x=y=0，可得f（0）=0，

令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），

∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，

（2）设x₁＜x₂，令y=-x₁，x=x₂

则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），

因为x＞0时，f（x）＜0，

故f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．

∴f（x₂）＜f（x₁），

∴f（x）在R上单调递减；

（3）f（x）在[-2014，2014]上单调递减，

∴x=-2014时，f（x）有最大值-2014f（1）=4028，

x=2014时，f（x）有最小值为f（2014）=4028．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及函数最值，解此类题目，注意赋值法的运用．