Question

已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）为偶函数．

Answer 1

解题思路：（1）转化为log₉

9x+1

9x

-log₉（9^x+1）=2kx恒成立求解．（2）利用（3^x-a）（3^x-[1/a]）＞0，分类讨论求解．

（1）∵f（x）为偶函数，

∴f（-x）=f（x），

即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（4⁹+1）+kx，

∴log₉

9x+1

9x-log₉（9^x+1）=2kx，

∴（2k+1）x=0，∴k=-[1/2]，

（2）f(x)−log9(a+

1

a)＞0⇒log9(9x+1)−

x

2＞log9(a+

1

a)

⇒log9

9x+1

9

x

2＞log9(a+

1

a)

⇒

9x+1

3x＞a+

1

a，

⇒(3x)2−(a+

1

a)3x+1＞0

⇒(3x−a)(3x−

1

a)＞0

（ I）①a＞1时⇒3^x＞a或3x＜

1

a⇒{x|x＞log₃a或x＜log3

1

a}，

②0＜a＜1时⇒3x＞

1

a或3^x＜a，{x|x＞log 3

1

a或x＜log₃a}，

③a=1时⇒3^x≠1，{x|x≠0}．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；指、对数不等式的解法．

考点点评： 本题考查了函数的性质，不等式的解法，属于中档题．