Question

如图，边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上的动点（与A，D不重合），F是CD上的动点，且AE+CF=4

Answer 1

解题思路：（1）连接BD，四边形ABCD是菱形得△ABD是正三角形（∠ABD=60°），再证出△ABE≌△DBF，得BE=BF，∠ABE=∠DBF，由此得出∠EBF=60°，问题得证；

（2）作EG⊥AB，利用勾股定理得出BE的长，再求正三角形△BEF的面积．

（1）证明：

连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∠ADC=120°，

∴△ABD是正三角形．

∴∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD，

又因AE+CF=4，DF+CF=4，

∴AE=DF，

而∠FDB=∠ADC-∠ADB=60°=∠DAB，

∴△AEB≌△DBF，

∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，

∵∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°

∴△BEF是正三角形．

（2）过E作EG⊥AB于点G，

∵AE=x，∠DAB=60°，

∴EG=

3

2x，AG=[1/2]x，

∴BG=4-[1/2]x，

∴BE²=EG²+BG²=（

3

2x）²+（4−

1

2x）²=x²-4x+16

作FH⊥EB垂足为点H，

S_△BEF=[1/2]BE•FH=[1/2]BE•

3

2BE=

3

4BE²=

3

4（x²-4x+16）．

点评：

本题考点： 等边三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 此题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理和锐角三角函数．