已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9,求m的值.

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  • 解题思路:求出导函数,求出导函数等于0的两个根,列出x,f′(x),f(x)的变化情况的表格,求出极大值,列出方程求出m的值.

    f′(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则x=-m或x=[1/3]m,

    当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:

    x (-∞,-m) -m (-m,

    1

    3m)

    1

    3m (

    1

    3m,+∞)

    f′(x)

    + 0 - 0 +

    f (x) 增 极大值 减 极小值 增从而可知,当x=-m时,函数f(x)取得极大值9,

    即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,

    ∴m=2.

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题考查利用导数求函数的极值的步骤:求出导数;令导数为0求出根;列出表格判断根左右两边导函数的符号;求出极值.