Question

设函数f（x）=|x-1|3-2|x-1|的四个零点分别为x1、x2、x3、x4，则f（x1+x2+x3+x4）=___

Answer 1

解题思路：根据函数f（x）=|x-1|³-2^|x-1|的解析式，可以得到函数的图象关于直线x=1对称，因此函数f（x）=|x-1|³-2^|x-1|的四个零点分别为x₁、x₂、x₃、x₄两两关于直线x=1对称，因此x₁+x₂+x₃+x₄=4，代入解析式即可求得结果．

设函数g（x）=|x|³-2^|x|，则函数g（x）为偶函数，

∴其图象关于y轴对称，

而函数f（x）=|x-1|³-2^|x-1|的图象是由函数g（x）=|x|³-2^|x|的图象向右平移一个单位得到，

∴函数f（x）=|x-1|³-2^|x-1|的图象的图象关于直线x=1对称，

∵函数f（x）=|x-1|³-2^|x-1|的四个零点分别为x₁、x₂、x₃、x₄，

∴x₁+x₂+x₃+x₄=4，

∴f（x₁+x₂+x₃+x₄）=f（4）=27-8=19，

故答案为：19

点评：

本题考点： 函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考查函数零点和方程根的关系，根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的关键，属中档题．