Question

设A.B是同阶正定矩阵,证明:det(λA-B)=0的根都是正根

Answer 1

仅需证明 A^(-1)B 是正定矩阵即可

det(λA-B)=0 也是det(λE-A^(-1)B)=0 的根

A.B是正定矩阵,A^(-1)也是正定矩阵

对任意非零向量x有 ,设x‘A^(-1)x＞0 x‘Bx＞0 ,注意 c=xx'=>0 c实际上是x各分量的平方和)

x'A^(-1)Bx=[x'A^(-1)x][ x'Bx ]/c＞0

所以 A^(-1)B正定