Question

（2014•怀化三模）已知数列{an}满足a1=[1/4]，an=an−1(−1)nan−1−2（n≥2，n∈N）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据等比数列的定义进行判断，即可得到结论．

（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项公式，求出数列{c_n}的前n项和为T_n，即可得到结论．

（Ⅰ）由an＝

an−1

(−1)nan−1−2得[1

an＝(−1)n−

2

an−1，

所以

1

an+(−1)n＝2(−1)n−

2

an−1＝−2[

1

an−1+(−1)n−1](n≥2)，

所以数列{

1

an+(−1)n}是首项为

1

a1+(−1)＝3，

公比为-2的等比数列．

（Ⅱ）由（1）知

1

an+(−1)n＝3×(−2)n−1，

得an＝

1

3(−2)n−1−(−1)n＝

(−1)n−1

3×2n−1+1，

不管n为奇数还是偶数，都有Cn＝

1

3×2n−1+1＜

1

3×2n−1，

所以T_n=C₁+C₂+…+C_n＜

1/3(1+

1

2+

1

22+…+

1

2n−1)=

2

3[1−(

1

2)n]＜

2

3]，

即不等式成立．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据数列的求和公式是解决本题的关键．