解题思路：（1）设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹；
（2）由题意可知L的斜率存在，设出其斜率，结合CA⊥CD，由弦心距和半径的关系得到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线L的斜率．
解（1）设A（x1，y1），M（x，y），
由中点公式得x1=2x-1，y1=2y-3
因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y-3）2=4，即x2+（y-1.5）2=1．
点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；
（2）设L的斜率为k，则L的方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，
由题意知，圆心C（-1，0）到L的距离为
2．
由点到直线的距离公式得
|-k-k+3|
k2+1=
2，
∴4k2-12k+9=2k2+2
∴2k2-12k+7=0，解得k=3±
22
2．
点评：
本题考点： 轨迹方程；直线与圆相交的性质．
考点点评： 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题，考查了利用代入法求曲线的方程，解答的关键是正确利用直线和圆的位置关系，是中档题．