概率题. 一只青蛙跳3次,每次正好跳一米,每次方向都完全随机.问...

2个回答

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    这是一个几何概型.

    由于第一次跳所有方向完全对称,所以对于任何方向求得的概率应该相同,因此不必考虑第一步,只需考虑第二、三步.

    以出发点为原点,出发点到第一步所达点的向量作为x轴单位向量建立平面直角坐标系,则第一步所达点的坐标为(1,0).

    设第二步向由x轴逆时针旋转x弧度(0≤x<2π)的方向跳出,第三步向x轴逆时针旋转y弧度(0≤y<2π)的方向跳出,则第二步所达点的坐标为(1+cos x,sin x),第三步所达点的坐标为(1+cos x+cos y,sin x+sin y)

    要使青蛙跳完后离它的出发点不超过一米,应有(1+cos x+cos y)²+(sin x+sin y)²≤1,即(以下是化简过程):

    1+2(cos x+cos y)+(cos x+cos y)²+(sin x+sin y)²≤1

    1+2(cos x+cos y)+2(cos xcos y+sin xsin y)+2≤1

    cos x+cos y+cos(x-y)+1≤0

    2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+2cos²[(x-y)/2]≤0

    2cos[(x-y)/2](cos[(x+y)/2]+cos[(x-y)/2])≤0

    cos[(x-y)/2]cos(x/2)cos(y/2)≤0

    因为0≤x<2π,0≤y<2π,所以0≤x/2,y/2<π,-π≤(x-y)/2<π

    于是……(以下的化简过程应该比较简单了,但是电脑上打出来有点累,就从略了)最后由x,y的不等关系在平面直角坐标系(这是另一个坐标系,不是先前建立的那个)中得到的区域的面积为π²,而全集{(x,y)|0≤x<2π,0≤y<2π},面积为4π²

    所以概率p=1/4