Question

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)+2f(x+2)=0.当x∈[-1,1]时，f(x)=(x+1)(x-1).

Answer 1

由已知f(x-2)=-2f(x)

f(x)=(-1/2)f(x-2) 且 f(x)=-2f(x+2)

x∈[-1,1]时,f(x)=x^2-1

(1) f(-3/2)=(-2)f(1/2)=(-2)((1/2)^2-1)=3/2

f(2)=(-1/2)f(0)=1/2

(2)x∈[-2,-1)时 f(x)=(-2)f(x+2)=(-2)[(x+2)^2-1]=-2x^2-8x-6

x∈(1,2]时 f(x)=(-1/2)f(x-2)=(-1/2)[(x-2)^2-1]=(-1/2)x^2+2x-3/2

f(x)={-2x^2-8x-6, x∈[-2,-1)

{x^2-1, x∈[-1,1]

{(-1/2)x^2+2x-3/2, x∈(1,2]

(3)作出f(x)在[-2,2]上的图象,由图象可得

g(x)=f(x)-m=0恰有一个零点,即f(x)的图象与y=m恰有一个交点时,

m的取值范围是m=-1或1/2