1.你就想象f(x)是那种三角函数,2是他的一个周期,所以f(x+3)也是奇函数.这是选择题的做法.
严格证明如下(反复利用奇函数性质:f(x)=-f(-x)):
f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[(-x-2)+1]=-f(-x-1)=f(x-1)
f(-x+3)=f[(-x+2)+1]=-f[(x-2)+1]=-f(x-1)
所以:f(x+3)=-f(-x+3),所以f(x+3)是奇函数
2.作为一道选择题来讲,我做的有点烦,不过在你看到更快的方法前,还是看看吧.(以下log的底数默认为2,所以不特别写了)
2x+2^x=5 整理得:2^(x-1)=5/2-x
2x+2log2(x-1)=5 整理得:log(x-1)=5/2-x
为了看的清楚,把x-1换成t,于是:
2^t=3/2-t
log(t)=3/2-t
所以t1,t2就是直线y=3/2-t与指数函数y=2^t,对数函数y=log(t)的分别交点的横坐标.通过画图可以发现,这两个点关于y=x对称,所以t1+t2=3/2
而x=t+1,所以x1+x2=t1+t2+2=7/2
3. x拖到log里面去,接下来就简单了,同样道理,log的底数不写了.
f(3^x)=4xlog(3)+233=4log(3^x)+233
所以:f(t)=4log(t)+233
f(2^1)+f(2^2)+……+f(2^8)=4(1+2+……+8)+233*8=2008