Question

如何证一任意四边形,其四边中点的连线围成的平行四边形面积为原四边形面积的一半

Answer 1

证明：任意四边形ABCD,连接对角线AC和BD交于O点,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,连接EH、EF、FG、GH,分别交AO、BO、CO、DO于I、J、K、L.

先看三角形AOD

HL平行于AO,且DH=1/2AD,

所以三角形DHL相似于三角形DAO

所以S(DHL):S(DAO)=1:4

即S(DHL)=(1/4)S(DAO)

同理S(AHI)=(1/4)S(AOD)

所以四边形HIOL的面积S(HIOL)=S(AOD)-S(DHL)-S(AHI)=(1/2)S(AOD)

同理可证 S(LOKG)=(1/2)S(DOC);S(JOKF)=(1/2)S(AOC);S(IOJE)=(1/2)S(AOB)

四块面积一加,即得所证命题.