Question

（2014•宿迁模拟）已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．

Answer 1

解题思路：（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，[1/3]，[1/9]成等差数列，求出公差d=-[2/9]，k=2，即可求这2个数；

（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+2项为a₂=q²，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；

（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可．

（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，[1/3]，[1/9]成等差数列，

所以公差d=-[2/9]，k=2，

所以这2个数为：b₁=[7/9]，b₂=[5/9]；…（2分）

（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，

由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+2项为a₂=q²，

所以[q−1/k+1]=

q2−q

m−k+1，q≠1，

所以q=[m−k+1/k+1]，且 k≠[m/2]；

所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=[m−k+1/k+1]，k∈N，k≤m且k≠[m/2]}；…（6分）

（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列；

证明如下：

（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件；…（8分）

（ii） 若在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{b_n}，则对于任意的k∈N^*，都有

ak+1−ak

ck+1＝

ak+2−ak+1

ck+1+1，

即

qk−qk−1

ck+1=

qk+1−qk

ck+1+1，q≠1且q≠0，

所以q=

ck+1+1

ck+1，c_k+1，c_k∈N，

所以q为正有理数，{a_n}为正项无穷等比数列，

若q不为整数，不妨设q=[t/p]，其中p，t∈N^*，p与t互质，且p≥2，

等差数列{b_n}的公差为d=

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查的是数列的应用，考查等差数列与等比数列的综合，考查反证法思想的运用，难度大，学生很难解决．