Question

如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x-6y+m=0，直线l的方程为：x+2y-3=0．

Answer 1

解题思路：（1）将圆的方程化为标准方程：

(x+

1

2

)

2

+(y−3

)

2

＝

37

4

−m

，若为圆，须有

37

4

−m＞0

，解出即可；

（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即k_OP•k_OQ=-1，亦即x₁x₂+y₁y₂=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y₁、y₂的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；

（1）将圆的方程化为标准方程为：(x+

1

2)2+(y−3)2＝

37

4−m，

依题意得：[37/4−m＞0，即m＜

37

4]，

故m的取值范围为（-∞，[37/4]）；

（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则k_OP•k_OQ=-1，即

y1

x1•

y2

x2＝−1，

所以x₁x₂+y₁y₂=0，

又因为x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，

所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，

将直线l的方程：x=3-2y代入圆的方程得：5y²-20y+12+m=0，

所以y₁+y₂=4，y1y2＝

12+m

5，

代入①式得：5×

12+m

5−6×4+9＝0，解得m=3，

故实数m的值为3．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，属中档题，解决本题（2）问的关键是正确理解“以PQ为直径的圆恰过坐标原点”的含义并准确转化．