Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．

Answer 1

（Ⅰ）∵动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1，

∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，

∴动点P的轨迹W是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x²=4y；

（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（-x₁，y₁），

由

y＝kx−4

x2＝4y消去y可得x²-4kx+16=0，

则△=16k²-64＞0，即|k|＞2，

x₁+x₂=4k，x₁x₂=16．

直线A₁B：y−y2＝

y2−y1

x2+x1(x−x2)，

∴y＝

x22−x12

4(x1+x2)(x−x2)+

1

4x22，

∴y＝

x2−x1

4x+

x1x2

4，

∴y＝

x2−x1

4x+4，

∴直线A₁B过点D（0，4），

∴A₁，D，B三点共线．