1.已知：P为BC边上一点,ABCD为正方形.PQ⊥AP.CQ为∠DCE的平分线.求证：PA=PQ
在AB上截取AM=CP.
∵垂直,所以角CPQ+角APB=90°,角MAP+角APB=90°,
∴角MAP=角CPQ,
又∵平分线,所以,角PCQ=角AMP=135°,
∴三角形AMP全等于三角形PCQ(ASA),
∴PA=PQ.
2.已知：D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠BAE=∠CAE. 求证：∠ABE=∠ACE
在AB上找一点M,AC上找一点N
使∠EMC=∠ENA=直角
AE=AE,∠BAE=∠CAE
△AEN≌△AEM（HL）
则EM=EN
∠BME=∠CNE=直角
BE=EC
△BMD ≌ CNE（HL）
∠ABE=∠ACE
3.条件：AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,△ADC≌△AEB
求证：∠DAF=∠EAF
证明：∵△ADC≌△AEB
∴∠B=∠C,AD=AE
∴DB=CE
∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴△DFB≌△EFC
∴DF=EF
∴△ADF≌△AEF
∴∠DAF=∠EAF
4.看图
因为∠ABC=90°所以∠ABD=90°-∠CBE；
因为AD⊥BP,所以∠ABD=90°-∠BAD；
所以∠CBE=∠BAD
因为AD⊥BP,CE⊥PB,∠CBE=∠BAD,所以∠BCE=∠ABD
因为∠CBE=∠BAD、∠BCE=∠ABD且AB=BC所以根据三角形全等定理中的角边角定理,可以知道三角形ABD全等于三角形BCE.
因为三角形ABD全等于三角形BCE,那么AB=BC、AD=BE、BD=CE,
因为AD=4、EC=2,DE=BE-BD（因为BE=AD、BD=CE）=AD-CE=4-2=2