证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
（1）若f(z)恒为0,则结论显然成立.
（2）若f(z)不恒为0
由f(z)解析得：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x C-R条件
|f(z)|=u^2+v^2为非零常数,因此该函数对x和y的偏导数均为0,得：
2u∂u/∂x+2v∂v/∂x=0,即u∂u/∂x+v∂v/∂x=0 (1)
2u∂u/∂y+2v∂v/∂y=0,即u∂u/∂y+v∂v/∂y=0 (2)
将C-R条件代入(2)两式得：
-u∂v/∂x+v∂u/∂x=0 (3)
联立(1)(3)两式,将∂u/∂x,∂v/∂x看作未知数,u,v看作系数,该方程组的系数行列式为
u v
v -u
=-u^2-v^2≠0
因为系数行列式非0,因此方程组只有零解,得：∂u/∂x=0,∂v/∂x=0
再联合C-R条件知,∂u/∂y=0,∂v/∂y=0
因此,u,v与x,y均无关,则u,v均为常数,所以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为常数.