Question

（2014•蚌埠二模）已知函数f（x）=xe-2x（x∈R）．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数，f′（x）=（1-2x）e^-2x，令f′（x）=0，解得x=[1/2]

由f′（x）＞0，可得x＜[1/2]；由f′（x）＜0，可得x＞[1/2]，

∴函数在（-∞，[1/2]）上是增函数，在（[1/2]，+∞）上是减函数

∴函数在x=1时取得极大值f（[1/2]）=[1/2e]；

（Ⅱ）证明：由题意，h（x）=f（1-x）=（1-x）e^2x-2，

令F（x）=f（x）-h（x），即F（x）=xe^-2x-（1-x）e^2x-2，

∴F′（x）=（2x-1）（e^4x-2-1）e^-2x，

当x＞[1/2]时，2x-1＞0，∴e^4x-2-1＞0，∵e^-x＞0，∴F′（x）＞0，

∴函数F（x）在（[1/2]，+∞）上是增函数

∵F（[1/2]）=0，∴x＞[1/2]时，F（x）＞F（[1/2]）=0

∴当x＞[1/2]时，f（x）＞h（x）；

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知函数在（-∞，[1/2]）上是增函数，在（[1/2]，+∞）上是减函数，f（x₁）=f（x₂），

∴不妨设x₁＜[1/2]，x₂＞[1/2]，

由（Ⅱ）可得f（x₂）＞h（x₂）=f（1-x₂），

∵f（x₁）=f（x₂），

∴f（x₁）＞f（1-x₂），

∵x₁＜[1/2]，1-x₂＜[1/2]，f（x）（-∞，[1/2]）上是增函数，

∴x₁＞1-x₂，

∴x₁+x₂＞1．