证明：（1）对于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=﹣1，
∴B（﹣1，0）．
∵C（1，0），
∴OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC，
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
对于y=3x+3，当x=0时，y=3，
∴A（0，3），
∵D（﹣3，0），
∴DO=AO．
∵∠AOB=∠DOF=90°，
∴△DOF≌△AOB（ASA），
∴OF=OB，
∴F（0，1）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴
，
解得
，
∴y=
x+1，
联立
，
解得
，
所以，点G（﹣
，
）；
（3）OM的长度不会发生变化，过P点作PN∥AB交BC于N点，
则∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠PNC=∠PCB，
∴PN=PC，
∵CP=BQ，
∴PN=BQ，
∵∠2=∠3，
∴△OBM≌△PNM（AAS），
∴MN=BM．
∵PC=PN，PO⊥CN，
∴ON=OC，
∵BM+MN+ON+OC=BC，
∴OM=MN+ON=
BC=1．