计算两直线(x+3)/4=(y-6)/-3=(z-3)/2,(x-4)/8=(y+1)/-3=(z+7)/3的距离

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  • 计算两直线(x+3)/4=(y-6)/(-3)=(z-3)/2;(x-4)/8=(y+1)/(-3)=(z+7)/3的距离

    直线L₁:(x+3)/4=(y-6)/(-3)=(z-3)/2;直线L₂:(x-4)/8=(y+1)/(-3)=(z+7)/3;

    L₁过点(-3,6,3);方向数为A={4,-3,2};

    L₂过点(4,-1,-7);方向数为B={8,-3,3};

    与L₁,L₂垂直的向量C

    ∣i j k∣

    C=A×B=∣4 -3 2∣=(-9+6)i-(12-16)j+(-12+24)k=-3i+4j+12k

    ∣8 -3 3∣

    向量C的方向数为:C={-3,4,12}

    那么过L₁且以C为法线的平面的方程为:-3(x+3)+4(y-6)+12(z-3)=0

    即-3x+4y+12z-69=0.(1)

    平面(1)必平行于L₂,因此L₂上的任一点,比如(4,-1,-7)到平面(1)的距离就是L₁与L₂的距离d:

    d=∣-12-4-84-69∣/√[(-3)²+4²+12²]=169/√169=13.

    【检验:把直线L₁的方程改为参数形式:x=4t-3;y=-3t+6;z=2t+3;

    在该直线上任取一点,比如,令t=1,则得M(1,3,5),代入(1)得:

    -3+12+60-69=0,可见M在平面(1)上;又已知(-3,6,3)在(1)上,故直线L₁在平面(1)上.

    把直线L₂的方程改为参数形式:x=8u+4;y=-3u-1;z=3u-7;

    在该直线上任取一点,比如,令u=1,则得N(12,-4,-4),点N到平面(1)的距离:

    d= ∣-36-16-48-69 ∣/13=169/13=13

    可见L₂∥平面(1);因此13就是L₁与L₂的距离d.】