解题思路:(1)
g′(x)=
(1−x)
e
b
e
x
,易知x=1是最大值点,利用g(1)=1解出b.
(2)
f′(x)=
x−a
x
(x>0)
,分a≤0,a>0时研究单调性以及零点个数,得出a≤0,或a=1,利用f(1)-g(1)≥a恒成立能够缩小a的范围到a≤-1.令h(x)=f(x)-g(x)-a,转化为h(x)min≥0.
(1)g′(x)=
(1−x)eb
ex,当(-∞,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增
当(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=
eb
e=1
所以eb=e所以b=1
(2)f′(x)=
x−a
x(x>0)
1)a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,符合题意;
2)a>0时,当0<x<a时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>a时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
∴f(x)min=f(a)=a-lna-1,函数f(x)有唯一零点,则a-lna-1=0,所以a=1,
综上所述,a≤0,或a=1时,函数f(x)有唯一零点.对任意的x≥1,不等式f(x)-g(x)≥a恒成立,
所以f(1)-g(1)≥a恒成立,∴−
eb
e≥a,又b=1,∴a≤-1.
令h(x)=f(x)-g(x)-a=x-alnx-1-xe1-x-a,则h′(x)=1-[a/x]-[e1-x-xe1-x]=1-[a/x]-(1-x)e1-x(x≥1),
∵a≤-1,x≥1,∴-[a/x]>0,-(1-x)e1-x>0,∴h′(x)>0,h(x)在[1,+∞)上单调递增,
h(x)min=h(1)=-a-1≥0,∴a≤-1,a的取值范围是(-∞,-1].
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值,考查恒成立问题,考查转化思想,考查学生综合运用导数知识解决问题的能力.