Question

已知函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=（k-1）x，记F（x）=f（x）-g（x），且F（x）为偶函数．

Answer 1

解题思路：（1）由F（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x为偶函数，所以F（-x）=F（x） 代入整理可求K

（2）由 f（2x）=g（2x+m），可得log₄（4^2x+1）=[1/2]（2x+m）即4^2x-4^x2^m+1=0，结合m的范围判断该方程的根的个数

可求

（1）F（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x，

因为F（x）为偶函数，所以F（-x）=F（x） …（1分）

log₄（4^x+1）-（k-1）x=log₄（4^-x+1）+（k-1）x…（3分）

所以（2k-2）x=x，…（4分）

因为x∈R，所以k=[3/2]…（6分）

（2）因为 f（2x）=g（2x+m），

所以log₄（4^2x+1）=[1/2]（2x+m），…（7分）

即4^2x-4^x2^m+1=0…（8分）

又m≤1，所以△=4^m-4≤0，当m=1时，方程有唯一解x=0，当m＜1时，方程无解，所以方程最多只有一解，…（10分）

即两个函数图象最多只有一个交点．…（12分）

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查了偶函数定义f（-x）=f（x）的应用，方程的根的个数与函数的交点个数之间的相互转化．