解题思路:(1)连结BC1,B1C交于点E,则点E是B1C的中点,连结DE,由三角形中位线定理得AC1∥DE,由此证明AC1∥面CDB1.
(2)由AC1∥DE,得∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角,由此能求出异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值.
(本小题15分)
(1)证明:连结BC1,B1C交于点E,
则点E是B1C的中点,连结DE,
因为D点为AB的中点,
所以DE是△ABC1的中位线,所以AC1∥DE,
因为DE⊂面CDB1,AC1⊄面CDB1,
所以AC1∥面CDB1.
(2)因为AC1∥DE,
所以∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角,
因为棱长为2a,所以DE=EB1=
2a,DB1=
5a,
取DB1的中点F,连接EF,则EF⊥DB1,且DE=
5
2,
所以cos∠EDB1=
DF
DE=
10
4.
即异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值为
10
4.
点评:
本题考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定.
考点点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查异面直线所成角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.