如图所示,在所有棱长都相等的三棱柱ABC-A1B1C1中,D点为棱AB的中点.

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  • 解题思路:(1)连结BC1,B1C交于点E,则点E是B1C的中点,连结DE,由三角形中位线定理得AC1∥DE,由此证明AC1∥面CDB1

    (2)由AC1∥DE,得∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角,由此能求出异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值.

    (本小题15分)

    (1)证明:连结BC1,B1C交于点E,

    则点E是B1C的中点,连结DE,

    因为D点为AB的中点,

    所以DE是△ABC1的中位线,所以AC1∥DE,

    因为DE⊂面CDB1,AC1⊄面CDB1

    所以AC1∥面CDB1

    (2)因为AC1∥DE,

    所以∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角,

    因为棱长为2a,所以DE=EB1=

    2a,DB1=

    5a,

    取DB1的中点F,连接EF,则EF⊥DB1,且DE=

    5

    2,

    所以cos∠EDB1=

    DF

    DE=

    10

    4.

    即异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值为

    10

    4.

    点评:

    本题考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定.

    考点点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查异面直线所成角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.