Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

Answer 1

（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，

∵PO⊂平面PAC，BD₁⊄平面PAC，所以，直线BD₁∥平面PAC．

（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC．

∵BD⊂平面BDD₁B₁，D₁D⊂平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，∴AC⊥面BDD₁B₁．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD₁B₁ ．

（3）由（2）已证：AC⊥面BDD₁B₁，∴CP在平面BDD₁B₁内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD₁B₁所成的角．

依题意得CP＝

CD2+DP2＝

2，CO＝

1

2AC＝

2

2，在Rt△CPO中，CO＝

1

2CP，∴∠CPO=30°

∴CP与平面BDD₁B₁所成的角为30°．