Question

已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,

Answer 1

证法一(综合法)：

∵a、b、c、d都是实数,

∴｜ac＋bd｜≤｜ac｜＋｜bd｜≤(a^2+c^2)/2+(b^2+d^2)/2=(a^2+c^2+b^2+d^2)/2

∵a^2＋b^2＝r^2,c^2＋d^2＝R^2,

∴｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2 .

证法二(比较法)：

显然｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2

-(r^2＋R^2)/2≤ac＋bd≤ (r^2＋R^2)/2

先证ac＋bd≤ (r^2＋R^2)/2.

ac＋bd－ (r^2＋R^2)/2

＝ac＋bd－(a^2+c^2+b^2+d^2)/2)

＝－〔(a－c)^2＋(b－d)^2〕/2≤0

∴ac＋bd≤ (r2＋R2)/2.

再证ac＋bd≥－ (r^2＋R^2)/2.

ac＋bd＋ (r^2＋R^2)/2

＝ac＋bd+ (a^2＋b^2＋c^2＋d^2)/2

＝ [(a＋c)^2＋(b＋d)^2]/2≥0,

∴ac＋bd≥－(r^2＋R^2)/2

综上述｜ac＋bd｜≤(r^2+R^2)/2