Question

如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴

Answer 1

（1）先求出抛物线解析式；x^2-4x+3＝0 的两个根分别是 1 和 3,所以 |OA|=1,|OC|=3；坐标 A(-1,0)、C(0,3)；将 C 点坐标代入抛物线 y=ax²+bx+c 中得 c=3；再将 A 点坐标代入抛物线方程得 a-b+3=0；对称轴 x=-b/(2a)=1,∴ b=-2a；联解方程可得 a=-1,b=2；∴ y=-x²+2x+3；一并求得坐标 B(3,0)、M(1,4)；设坐标 P(m,km),因为抛物线与坐标轴在第一象限所围封闭图形 OBEMC 大小已定,当◇PCMB 的面积最小时,◇PCOB 面积最大,即 S=[|OB|*km+|OC|*m]/2=3(k+1)m/2 最大；将直线方程 y=kx 代入抛物线中：kx=-x²+2x+3 → x²+(k-2)x-3=0；所以 m=(x1+x2)/2=-(k-2)/2=1-(k/2)；故 S=3(k+1)(2-k)/4=(3/4)(2+k-k²)=(3/4)[(9/4)-(0.5 -k)²]≤(3/4)*(9/4)=27/16；当 k=1/2 时 S 最大为 27/16,◇PCMB 的面达到最小；对应 m=1-(1/4)=3/4,P(3/4,3/8)；S◇PCMB=S△OBM+S△OCM-S◇PCOB=|OB|*4/2+|OC|*1/2-(27/16)=3*4/2+3*1/2-(27/16)=5+(5/16)=85/64；（2）相当于 A、O、E、M 固定求五边形 AOEMQ 的最大面积,显然是当 Q 距 AM 最远时,最远的 Q点是平行于 AM 的直线与抛物线的切点；直线 AM 的斜率 k=(4-0)/(1+1)=2,此时 y'=-2x+2=k=2,切点 x=0,y=3,即 Q 与 C 重合；