定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.

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  • 解题思路:(1)先根据f(x)是定义在R上的奇函数,判断f(0)=0,再根据当x<0时,f(x)=-f(-x)根据x,0时,f(x)=-x2+mx-1得到x>0时函数的解析式,最后综合即可得到答案.

    (2)由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2得出关于m的不等关系,从而求得实数m的取值范围.

    (1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-x2-mx-1(2分)

    又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),(3分)

    所以,f(x)=x2+mx+1(x>0),(4分)

    又f(0)=0,(6分)

    所以f(x)=

    x2+mx+1 x>0

    0x=0

    −x2+mx−1x<0(7分)

    (2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,(8分)

    由方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点,(9分)

    又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,(10分)

    即,方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2(11分)

    △=m2−4>0

    x1+x2=−m>0

    x1•x2=1>0⇒m<−2,(14分)

    所以,所求实数m的取值范围是m<-2(15分)

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用;奇函数.

    考点点评: 本小题主要考查函数与方程的综合运用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.