Question

.已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),求证此圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)

Answer 1

用轨迹法,结合向量证明

证明：设P（x,y）为圆上任意一点

向量AP=(x-x1,y-y1) 向量BP=(x-x2,y-y2)

由于P为圆上的点,AB是圆的直径

当P不与A,B重合时,向量AP与向量BP垂直,

当P与A或B重合时,向量AP或BP有一个是零向量

以上两种情况,两个向量的数量积都为0

可得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

由于圆上的任意一点都满足上式等式,则该等式就是该点的轨迹方程

所以圆的方程就是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0