双曲线C：X^2-Y^2=1 ...(1)上存在关于直线l：Y=k（X+4）对称的两点
即:垂直于直线l：Y=k（X+4）的直线,与双曲线C：X^2-Y^2=1交于两点,而且该二点的中点在直线l：Y=k（X+4）上
因此:
垂直于直线l：Y=k（X+4）的直线的方程为:X = kY + A ...(2)
(1)(2)联立,得:(k^2-1)X^2 + 2kAY + (A^2-1) = 0 .(3)
(3)有双解:(2kA)^2 - 4*(k^2-1)*(A^2-1) > 0 ==> k^2 + A^2 > 1
(3)双解Y1、Y2:(Y1+Y2)/2 = -kA/(k^2-1) ...(4)
相应的X1、X2：(X1+X2)/2 = [(kY1+A)+(kY2+A)]/2 = -A*k^2/(k^2-1)+A.(5)
(4)(5)在在直线l：Y=k（X+4）上:
-kA/(k^2-1) = k*[ -A*k^2/(k^2-1)+A] + 4k
化简,得:k*(k+1)(k-1) = 0 ===> k = 0、-1、1
因此,
k的取值范围为：k = -1,0,1.