Question

级数收敛性的一道证明题若级数anx^n的收敛半径是R1,级数bnx^n的收敛半径是R2,R2>R1,求级数(an+bn)

Answer 1

收敛半径就是R1.

对任意x满足|x| < R1,∑an·x^n与∑bn·x^n都是绝对收敛的,于是∑(an+bn)x^n也绝对收敛.

其收敛域包含(-R1,R1),故收敛半径 ≥ R1.

对任意x满足R2 > |x| > R1,由∑bn·x^n的收敛半径为R2,有lim{n→∞} bn·x^n = 0.

而由∑an·x^n的收敛半径为R1,有limsup{n→∞} |an|^(1/n) = 1/R1.

于是limsup{n→∞} |an·x^n|^(1/n) > |x|/R1 > 1,n→∞时an·x^n不能收敛到0.

因此n→∞时(an+bn)·x^n不能收敛到0,∑(an+bn)x^n不可能收敛.

故∑(an+bn)x^n的收敛半径 ≤ R1.

综合得∑(an+bn)x^n的收敛半径 = R1.