Question

如图,已知半圆O的半径OA=2,P是OA延长线上的一点,过线段OP的中点B作垂线交圆O于点C,射线PC交半圆O于点D,

Answer 1

（1）证明 ：连接co,

由弧AC=弧CD可知,角AOC=角DOC,即角POC=角DOC

由B为PO中点,且BC垂直PO,所有BC为PO的垂直平分线,所以,角CPO=角POC,

,即角DPO=角POC,

因此,∠DPO=∠DOC

(2) 由(1)可知 ∠DPO=∠DOC=∠POC,所以PC=CO=DO=AB,

又三角形内角和为180度,所以,∠DPO+∠POC+∠DOC+∠COD=180度

由CO=DO 可知,∠CDO=∠DCO

因为∠DPO+∠POC=2*∠DPO=∠DCO

所以,∠DCO+∠DOC+∠COD=180度

即 5*∠DPO=180度,∠DPO=∠DOC=36度

所以,求弦CD的长为：CD=2*DO*sin(36/2度)=4*sin(18度)

(3)

点C在弧AD上运动时,PA=x,CD=y.过O点做CD垂线,交于点E,如图

由DO = CD ,OC垂直CD可知,E为CD中点,CE=CD/2=y/2

而PC=CO=AO=2,PA=x,PB=BO=PO/2=(x+2)/2, PE=PC+CE=2+y/2

所以,cos∠DPO=PE/PO=PB/PC

即,(2+y/2)/(x+2)=((x+2)/2)/2

所以,y=[(x+2)^2]/2-4