Question

AD为圆O直径,过D的切线交BC延长线于P,连接PO并延长分别交AC,AB于N,M.求证：OM=ON

Answer 1

过B作MN的平行线,分别相交于AD、AC于O'、N'

∵M、O、N三点共线,∴B、O’、N’三点共线,且O’B:OM=O’N’:ON.

取BC中点G,连结OG、O’G、DG、DB.

∵∠OGP=∠ODP=90°,∴P、D、G、O四点共圆.

∴∠ODG=∠OPG,而由MN‖BN’有∠OPG=∠O’BG,

∴∠ODG=∠O’BG,∴O’、B、D、G四点共圆.

∴∠O’GB=∠O’DB.而∠O’DB=∠ACB,∴∠O’GB=∠ACB,O’G‖AC,

而G是BC的中点,∴O’是BN’的中点,O’B= O’N’,

∴OM=ON.