Question

一道关于集合的数学题：已知集合A={x/x=m^2-n^2,m属于整数,n属于整数} 1.求证：任何奇数都是集合A的元素

Answer 1

1.因为m^2-n^2= (m+n)(m-n),m,n属于整数

又任何一个奇数都可以表示为:2k+1,k为整数

令(m+n)(m-n)= 2k+1

又令 m+n= 2k+1

m-n= 1

联立解得方程组的解为:m= k+1,n=k ,有整数解

说明,对任何一个奇数,总能找到一组m,n 使得这个奇数在 A集合中

2.假如是A的元素,所以

有(m+n)(m-n) = 4k-2 =2(2k-1) 是偶数'2'和一个奇数的乘积,且是'2'的倍数

假设 m+n 是偶数 ,那么m,n同为偶数或者同为奇数

2-1如果为偶数,那么m-n为偶数,那么2个偶数相乘 必定是 4的倍数,而 4k-2 是2的倍数,所以显然假设不成立;

2-2如果为奇数,那么m-n 为偶数,也就是m-n=2p,m+n=(2k-1)/p,p是奇数

联合解得m=p+(2k-1)/2p ,而2k-1 和p都是奇数,显然m不是整数,所以假设不成立

综合上诉两点,可以知道 4k-2都不是A的元素

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