Question

已知函数f（x）=m•2x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（n，Sn），Sn为数列{an}的前n项和，n∈

Answer 1

解题思路：（1）将点A（1，1）、B（2，3）代入函数解析式，得到关于m，t的方程解出参数的值，求得函数的解析式，再将点C（n，S_n），得到S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．再有n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求a_n；

（2）由题意c_n=6na_n-n，求得数列{c_n}的通项公式，由其形式得到，需要先分组，再对其中的一组用错位相减法求和．另一组用公式求和．两者相加求得数列{c_n}的前n项和T_n．

（1）由

2m+t＝1

4m+t＝3，得

m＝1

t＝−1，

∴f（x）=2^x-1，∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．

∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．

当n=1时，S₁=a₁=1符合上式．

∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．

（2）由（1）知c_n=6na_n-n=3n×2ⁿ-n．

从而T_n=3（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）

令M=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，

则2M=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹

作差整理得M=（n-1）•2ⁿ⁺¹

所以T_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2+6．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查数列与函数的综合，正确解答本题，关键是根据函数的由题意求出函数的解析式，以及观察数列{cn}的通项公式的形式，用分组技巧与错位相减法的技巧求和，本题综合性强，对观察能力，转化能力要求较高，是一个能力型题．