Question

曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比,则此曲线的方程是

Answer 1

应为等轴双曲线或斜率绝对值为1的过原点的直线,

设曲线方程为f（x）= y,则由已知有：

y ‘ = x/y

即y ’ *y= x；

两边同时取关于dx的不定积分有：

∫y ‘ y dx = ∫ x dx

即 ∫ y dy= ∫ x dx,得：

y^2 - x^2 = C

其中C为任意常数

（1）当C不为0时,

y^2 - x^2 = C即表示某一等轴（即实轴长等于虚轴长）双曲线；

（2）当C等于0时,

y^2 - x^2 = C退化为

y^2 = x^2 ,即y = x 或y = - x,是斜率绝对值为1的过原点的直线

另外,需要注意的是,要是需要严格满足条件：曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比,则必须保证纵坐标不为0才有意义,故严格来说,以上求得的曲线应除去y=0的点后,才是题意所求.