Question

设数列{An}的前n项和Sn=2An-2^n 1.证明数列{A(n+1)-2An}是等比数列 2.求{An}的通项公式.

Answer 1

1.

因为数列{An}的前n项和Sn=2An-2^n.(1)

所以S(n+1)=2A(n+1)-2^(n+1).(2)

(2)-(1)得A(n+1)=2A(n+1)-2An-2^n

所以A(n+1)-2An=2^n

所以(A(n+2)-2A(n+1))/(A(n+1)-2An)=2^(n+1)/2^n=2

所以数列{A(n+1)-2An}是等比数列

2.

因为A(n+1)-2An=2^n

两边同时除以2^(n+1)得A(n+1)/2^(n+1)-An/2^n=1/2

所以数列{An/2^n}是个等差数列,公差为d=1/2

因为Sn=2An-2^n

所以S1=2A1-2^1 即A1=2A1-2^1 故A1=2

所以数列{An/2^n}的首项是A1/2^1=2/2=1

所以An/2^n=A1/2^1+(n-1)d=1+(n-1)/2=(n+1)/2

所以An=(n+1)*2^(n-1)