Question

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn＝4+an1−an(n∈N*)．

Answer 1

解题思路：（I）由a_n=5S_n+1，能推导出

a

n

＝(−

1

4

)

n

，再由

b

n

＝

4+

a

n

1−

a

n

(n∈

N

*

)

，能求出数列{b_n}的通项公式．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

b

n

＝4+

5

(−4

)

n

−1

，故

c

n

＝

5

b

n

−4

−(−4

)

n

−1

，由此能求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

（I）∵a_n=5S_n+1，

∴当n=1时，a₁=5a₁+1，

∴a1＝−

1

4，

当n≥2时，a_n=5S_n+1，a_n-1=5S_n-1+1，

两式相减，a_n-a_n-1=5a_n，即an＝−

1

4an−1，

∴数列{a_n}成等比数列，其首项a1＝−

1

4a_n-1，

∴数列{a_n}成等比数列，其首项a₁=-[1/4]，公比是q=-[1/4]，

∴an＝(−

1

4)n，

∴bn＝

4+(−

1

4)n

1−(−

1

4)n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝4+

5

(−4)n−1，

bn−4＝

5

(−4)n−1，

∴cn＝

5

bn−4−(−4)n−1，

∴Tn＝

−4[(1−(−4)n]

1−(−4)−n

=[4/5(−4)n−n−

4

5]．

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，注意迭代法和等价转化思想的合理运用．