解题思路:(I)把a=2代入,对函数求导,分别令f′(x)>0,f′(x)<0,解不等式可求解出函数的单调区间,进一步求函数的极值,然后比较极值与端点值,找出函数的最值
(II)函数f(x)在区间(1,2)上不单调⇔f'(x)=0在(1,2)上有实根,且无重根,结合二次函数在(1,2)上的图象求解
(本小题满分12分)
(I)当a=2时,f(x)=x3-5x2+8xf'(x)=3x2-10x+8
令f'(x)=0得3x2-10x+8=0,x1=[4/3],x2=2(2分)f(x)在[1,2]上变化如表
由上表知,f(x)在[1,
4
3]上单调递增,在[
4
3,2]上单调递减
∴f(x)min=f(
4
3)=
112
27
∵f(1)=f(2)=4
∴f(x)min=4(6分)
(II)f'(x)=3x2-2(4a-3)x+4a(a-1)
若函数f(x)在(1,2)上不单调,则方程f'(x)=0在(1,2)上有实根,且无重根(8分)
由f'(x)=3x2-2(4a-3)x+4a(a-1)=0
解得x1=
2a
3,x2=2(a−1)
则
1<
2a
3<2
2a
3≠2(a−1)或
1<2(a−1)<2
2a
3≠2(a−1)(10分)
解得a∈(1,
3
2)∪(
3
2,2)∪(2,3)(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数求最值,其步骤:①对函数求导②分别解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,写出函数的单调区间③结合单调区间求函数的极值④计算端点值,与极值比较,找出最值