已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.

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  • 解题思路:(I)由x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,求导,则f′(1)=0,求得m与n的关系表达式;

    (II)根据(I),代入f(x)中,求导,令导数f′(x)>0,求得单调增区间,令f′(x)<0,求得单调减区间.

    (I)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n,

    因为x=1是f(x)的一个极值点,

    所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6.

    (II)由(I)知,

    f′(x)=3mx2−6(m+1)x+3m+6=3m(x−1)[x−(1+

    2

    m)].

    当m<0时,有1>1+

    2

    m,当x变化时,f(x)与f'(x)的变化如下表:

    x (−∞,1+

    2

    m) 1+

    2

    m (1+

    2

    m,1) 1 (1,+∞)

    f′(x) <0 0 >0 0 <0

    f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(−∞,1+

    2

    m)单调递减,

    在(1+

    2

    m,1)单调递增,(1+∞)单调递减.

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题,求函数的单调区间实质是解不等式,属中档题.