解题思路:(I)由x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,求导,则f′(1)=0,求得m与n的关系表达式;
(II)根据(I),代入f(x)中,求导,令导数f′(x)>0,求得单调增区间,令f′(x)<0,求得单调减区间.
(I)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n,
因为x=1是f(x)的一个极值点,
所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0,所以n=3m+6.
(II)由(I)知,
f′(x)=3mx2−6(m+1)x+3m+6=3m(x−1)[x−(1+
2
m)].
当m<0时,有1>1+
2
m,当x变化时,f(x)与f'(x)的变化如下表:
x (−∞,1+
2
m) 1+
2
m (1+
2
m,1) 1 (1,+∞)
f′(x) <0 0 >0 0 <0
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(−∞,1+
2
m)单调递减,
在(1+
2
m,1)单调递增,(1+∞)单调递减.
点评:
本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题,求函数的单调区间实质是解不等式,属中档题.