Question

若x，y，z均为非负数，且满足x−1＝y+12＝z−23，则x2+y2+z2可取得的最小值为______．

Answer 1

解题思路：用换元法把x、y、z的值用一个未知数表示出来，再求其最值即可．

令x-1=[y+1/2]=[z−2/3]=t，

则x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，

于是x²+y²+z²=（t+1）²+（2t-1）²+（3t+2）²

=t²+2t+1+4t²+1-4t+9t²+4+12t

=14t²+10t+6，

∵x，y，z均为非负数，

∴x-1≥-1，[y+1/2]≥[1/2]，[z−2/3]≥-[2/3]，

∵x-1=[y+1/2]=t，

∴y≥[1/2]，

∴当t=[1/2]时，其最小值=14×[1/4]+10×[1/2]+6=[29/2]．

故答案为：[29/2]．

点评：

本题考点： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

考点点评： 本题考查了配方法的应用及非负数的性质，解题的关键是利用换元法得到有关x、y、z的二次三项式并求最值．