需注意,“除以”和“除”意思完全不同,想必是提问者混淆了,否则就是录入有误.其实,只要问问小学生,就知道两者的差别.
对于第1、3两题,原题是无解的,或者说结果依赖于F(x)与G(x)的选取.
现给出修改后的问题的解答.
1、若x^2-5x+6除多项式F(x)得余式2x-5,则F(3)=____.
2、多项式x^4+2x^3-4x^2-2x+3与x^3+4x^2+x-6的最大公因式为___.
3、若2x^2-3x-2分别除多项式F(x)与G(x)得余式2x+3与4x-1,则以2x+1除F(x)-G(x) 的余式为____.
1、设q(x)是F(x)除以x^2-5x+6的商式,则
F(x)=(x^2-5x+6)*q(x)+(2x-5),
上式中令x=3得：F(3)=0*q(3)+1=1.
2、用辗转相除法,与整数求最大公约数的辗转相除法类似.
x^4+2x^3-4x^2-2x+3除以x^3+4x^2+x-6的余式为3x^2+6x-9；把首项系数化为1得：x^2+2x-3；
（用分离系数法就可以很容易算出来,长除法也可,简单一点就用短除法——综合除法）
x^3+4x^2+x-6除以x^2+2x-3的余式为0；（商式为(x+2)）
故x^4+2x^3-4x^2-2x+3与x^3+4x^2+x-6的最大公因式为：x^2+2x-3.
3、由已知,可设
F(x)=(2x^2-3x-2)*q1(x)+(2x+3),
G(x)=(2x^2-3x-2)*q2(x)+(4x-1),
则
F(x)-G(x)=(2x^2-3x-2)*( q1(x)-q2(x) )+(-2x+4)
=(2x+1)*(x-2)*( q1(x)-q2(x) )+(-2x+4),
即 F(x)-G(x)=(2x+1)*(x-2)*( q1(x)-q2(x) )+(-2x+4).
上式中,令x=-1/2得：
F(-1/2)-G(-1/2)=0+5=5,
由余式定理,除F(x)-G(x) 除以(2x+1)的余式为F(-1/2)-G(-1/2)=5.