解题思路:(1)由题意可知:当PA=PC时,△PAC为等腰三角形,则D点为AC的中点,则AD=[1/2]AC,故可求得AD的长度;
(2)当△PAC构成等腰直角三角形时,∠PCD=∠DPC=45°,则PD=AD,由(1)可知AD的长度,则可得出PD的长度;
(3)当△PAC构成等边三角形时,∠PAD=60°,在直角△PAD中,根据勾股定理可以求得PD的长;
(4)要想使两三角形相似,△APC必须满足的条件是∠APC=90°,因此本题要分两种情况进行讨论:
①当∠PCA=∠BAC=30时°,可在直角三角形PAC中根据AC的长和∠PCA的度数,求出AP的长,然后在直角△ADP中,根据AP的长和∠PAC的度数即可求出AD、DP的长;
②当∠PAC=∠BAC=30°时,此时P在直角△ABC的斜边AB上,且CP⊥AB.然后可按照①的方法求出AD、DP的长.
(1)AD=[1/2]AC=[1/2]BCtan60°=3
3;
(2)同(1)AD=3
3
∵∠PCD=∠DPC=45°,
∴PD=AD,
∴PD=3
3;
(3)AD=3
3DP=9;
(4)①AD=[1/2]×3
3=
3
2
3,DP=[9/2];
②AD=
9
2
3,DP=[9/2].
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
考点点评: 本题考查了直角三角形的性质,等边三角形的判定以及相似三角形的判定等知识点.本题较复杂,要注意(4)中要根据对应角的不同,分类讨论,不要漏解.