Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．

Answer 1

解题思路：（1）令x₁=x₂=1，即可得f（1）；令x₁=x₂=-1，即可得到f（-1）；

（2）由定义域关于原点对称，可令x₁=x，x₂=-1，即可得到f（-x）=f（x），即为偶函数；

（3）令x₁=x₂=4，求得f（16）=2．再由单调性得到|x-1|＜16，解出即可．

（1）令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），则f（1）=0，

令x₁=x₂=-1，则f（1）=2f（-1）=0，即f（-1）=0；

（2）f（x）为偶函数．由于f（x）的定义域为D={x|x≠0}，

可令x₁=x，x₂=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），故f（x）为偶函数．

（3）由于f（4）=1，则f（16）=2f（4）=2．

f（x-1）＜2即为f（x-1）＜f（16）．

由于f（x）在（0，+∞）上是增函数，

则0＜|x-1|＜16，解得-15＜x＜17且x≠1．

故x的取值范围是（-15，1）∪（1，17）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．