Question

设A是n阶矩阵,a,b是A的两个不同的特征值,x,y是A的分别属于a,b的特征向量,证明：x+y不是A的特征向量

Answer 1

假设x+y是A的属于特征值r的特征向量.则

A(x+y)=r(x+y)

又

Ax=ax

Ay=by

所以

A(x+y)=ax+by

所以

ax+by=r(x+y)

(a-r)x+(b-r)y=0（零向量）

因为x,y非零且线性无关

所以必有

a-r=0,b-r=0使上式成立

所以

a=r,b=r

a=b

与a,b是A不同的特征值矛盾.

所以假设不成立,x+y不是A的特征向量.