解题思路：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形，BE为角平分线；可证△ABE≌△DBE，即AB=BD，AE=DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；∠C=45°，ED⊥DC，△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称．可得出BE⊥AD．
（3）根据（2），可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB+AE=BD+DC=BC=10．
（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．
（2）AD与BE垂直．
证明：由BE为∠ABC的平分线，
知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点，
∴AD⊥BE．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中
AE＝DE
BE＝BE
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB=BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=DC，
即AB+AE=BD+DC=BC=10．
点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质．
考点点评： 此题考查了学生对角平分线定理以及在学习过程中对三角形知识的总结和认识．