Question

设方程e^x+x=a的解为x1,方程lnx+x=a的解为x2,则|x1-x2|的最小值为（） A1 B√2 Cln2 D

Answer 1

根据题意,x1 是函数 y1=e^x 与 y=a-x 的交点的横坐标,x2 是函数 y2=lnx 与 y=a-x 的交点的横坐标,

由于 y1=e^x 与 y2=lnx 互为反函数,其图像关于直线 y=x 对称,而 y=x 与 y=a-x 垂直 ,

所以 x2=y1=e^x1 ,

那么 |x1-x2|=|e^x1-x1| .

令 g(x)=e^x-x ,则 g'(x)=e^x-1 ,令 g'(x)=0 得 x=0 ,

当 x0 ,g(x) 为增函数,

所以当 x=0 时 g(x) 取最小值 g(0)=1 ,

由此得,|x1-x2| 的最小值为 1 .（此时 a=1）

选 A .