Question

高中数列难题.设数列{an}的前n项和为sn,满足2sn=a(n+1)-2^(n+1)+1,n属于n*.且a1,a2+5

Answer 1

（1）在2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1中,

令n=1得：2S1=a2-2^2+1,

令n=2得：2S2=a3-2^3+1,

解得：a2=2a1+3,a3=6a1+13

又2（a2+5）=a1+a3

解得a1=1

（2）由2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1,

2S(n+1)=a(n+2)-2^(n+2)+1

得a(n+2)=3a(n+1)+2^(n+1),

又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+2^1,

所以a(n+1)=3an+2^n对n∈N*成立

∴a(n+1)+2^(n+1)=3（an+2^n）,又a1=1,a1+2^1=3,

∴an+2^n=3^n,

∴an=3^n-2^n；

（3）

∵an=3^n-2^n=（3-2）（3^(n-1)+3^(n-2)×2+3(n-3)×2^2+…+2^(n-1)）≥3^(n-1)

∴ 1/an≤1/3^(n-1)

∴1/a1+2/a2+3/a3+.1/an≤1+1/3+1/3^2+.+1/3^(n-1)= 1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2